由于相信万物都是整数或者整数之比，那么两条几何线段长度之间的比值，其结果也必然是整数之比。这也意味着存在第三条线段，能同时量尽事先给定的两条线段。这种性质被毕达哥拉斯学派称为"可通约"。基于对整数的信条，他们认为任何两条线段都是可通约的。直到"不可通约量"的发现，终于引起了该学派巨大的信仰危机。这一"离经叛道"的结果，却是由毕达哥拉斯的学生希帕索斯（Hippasus）做出的。
希帕索斯考虑一个边长为1的等边直角三角形，根据勾股定理，其斜边长应该是"2的平方根"。如果毕达哥拉斯学派的断言是正确的，那么直边和斜边应该是可通约的，因此存在一个有理数（即整数之比），恰好等于"根号2"。希帕索斯很快就证明，这是一个矛盾的结论。他兴高采烈地将自己的非凡发现告诉老师毕达哥拉斯。在经过仔细的检查之后，毕达哥拉斯进入了"两难"的境地。要么承认希帕索斯颠覆性的结论，从而推翻他的数学与哲学的信条；要么违背理性的原则，坚决反对这一发现。左右为难之下，毕达哥拉斯将其视为学派的秘密，下令禁止传播这一结论。事情的发展还是超乎毕达哥拉斯的预料，希帕索斯最终将发现泄露出去，从而激怒了毕达哥拉斯。毕达哥拉斯随后下令处死他的学生。希帕索斯最终为此付出生命的代价，将一腔热血献祭给了第一次数学危机。
这一认识上的危机给古希腊的数学带来巨大的地震。为了维护学派的信仰，毕达哥拉斯认定类似于"根号2"这样的数是不可说、也无定形的数，其秘密属于众神的范畴，凡人不应该接触和认识到这些数的存在。这些数被称为"没有理性的数"，它们的存在即宣告了无理数的诞生。
